(1)设f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)． (2)设f(x)在(－1，＋∞)内连续，且f(x)－∫0xtf(t)dt＝1(x＞－1)，求f(x)．

admin2017-12-31 14

问题 (1)设f(x)＝e^x－∫₀^x(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
(2)设f(x)在(－1，＋∞)内连续，且f(x)－

∫₀^xtf(t)dt＝1(x＞－1)，求f(x)．

选项

答案(1)由f(x)＝e^x－∫₀^x(x－t)f(t)dt，得f(x)＝e^x－x∫₀^xf(t)dt＋∫₀^xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)＝e^x－∫₀^xf(t)dt，两边再对x求导得f’’(x)＋f(x)＝e^x，其通解为f(x)＝ C₁cosx＋C₂sinx＋[*]．在f(x)＝e^x－∫₀^x(x－t)f(t)dt中，令x＝0得f(0)＝1，在f’(x)＝e^x－ ∫₀^xf(t)dt中，令f’(0)＝1，于是有[*]． (2)由f(x)－[*]∫₀^xtf(t)dt＝1得 (x＋1)f(x)－∫₀^xtf(t)dt＝x＋1，两边求导得 f(x)＋(x＋1)f’(x)－xf(x)＝1，整理得 f’(x)＋(－1＋[*]，解得 [*]

解析

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考研数学三

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(1)设f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)． (2)设f(x)在(－1，＋∞)内连续，且f(x)－∫0xtf(t)dt＝1(x＞－1)，求f(x)．

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