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证明:n>3的非零实方阵A,若它的每个元素等于自己的代数余子式,则A是正交矩阵.
证明:n>3的非零实方阵A,若它的每个元素等于自己的代数余子式,则A是正交矩阵.
admin
2017-07-10
73
问题
证明:n>3的非零实方阵A,若它的每个元素等于自己的代数余子式,则A是正交矩阵.
选项
答案
由题设,a
ij
=A
ij
,则A
*
=A
T
,即 AA
*
=AA
T
=|A|E. 两边取行列式,得|A|
2
=|A|
n
,得|A|
2
(|A|
n一2
一1)=0. 因A是非零阵,设a
ij
≠0,则|A|按第i行展开有 |A|=[*]>0,故|A|≠0, 从而由|A|
2
(|A|一1)=0,得|A|=1,故AA
*
=AA
T
=|A|E=E,A是正交矩阵.
解析
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考研数学二
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