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  3. 设齐次线性方程组 的系数矩阵记为A，Mj(j=1，2，…，n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式，证明：如果Mj不全为0，则(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T．是该方程组的基础解系．

设齐次线性方程组 的系数矩阵记为A，Mj(j=1，2，…，n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式，证明：如果Mj不全为0，则(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T．是该方程组的基础解系．

admin2016-10-27  44
问题 设齐次线性方程组

的系数矩阵记为A，Mj(j=1，2，…，n)是矩阵A中划去第j列所得到的行列式，证明：如果Mj不全为0，则(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T．是该方程组的基础解系．
选项
答案因为A是(n一1)×n矩阵，若Mj不全为0，即A中有n—1阶子式非零，故r(A)=n一1．那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=1个非零向量所构成． [*] 按第一行展开，有Di=ai1M1一ai2M2+…+ain(一1)1+nMn． 又因Di中第一行与第i+1行相同，知Di=0．因而 ai1M1一ai2M2+…+ain(一1)n－1Mn=0． 即(M1，一M2，…，(一1)n－1Mn)T满足第i个方程(i=1，2，…，n一1)，从而它是Ax=0的非零解，也就是Ax=0的基础解系．
解析
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考研数学一

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