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(2008年试题,18)设函数f(x)连续. (I)用定义证明F(x)可导。且F’(x)=f(x); (Ⅱ)设f(x)是周期为2的连续函数,证明也是周期为2的函数.
(2008年试题,18)设函数f(x)连续. (I)用定义证明F(x)可导。且F’(x)=f(x); (Ⅱ)设f(x)是周期为2的连续函数,证明也是周期为2的函数.
admin
2013-12-27
95
问题
(2008年试题,18)设函数f(x)连续.
(I)
用定义证明F(x)可导。且F
’
(x)=f(x);
(Ⅱ)设f(x)是周期为2的连续函数,证明
也是周期为2的函数.
选项
答案
(I)给x一个小的增量△x,则F(x+△x)[*]函数F(x)的增量为[*]因函数f(x)连续,则由积分中值定理得,△F=f(δ)Ax,其中δ∈(x,x+△x),等式两边同除以△x,有[*]因函数f(x)连续,当△x→0时,δ→x,从而[*]在[*]的两边取极限,可知[*]存在,即函数F(x)可导,且有F
’
(x)=f(x).(II)因为f(x)是周期为2的连续函数,所以,(x)=f(x一2).又[*]
解析
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考研数学一
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