(2008年试题，18)设函数f(x)连续. (I)用定义证明F(x)可导。且F’(x)=f(x)； (Ⅱ)设f(x)是周期为2的连续函数，证明也是周期为2的函数．

admin2013-12-27 91

问题 (2008年试题，18)设函数f(x)连续.
(I)

用定义证明F(x)可导。且F^’(x)=f(x)；
(Ⅱ)设f(x)是周期为2的连续函数，证明

也是周期为2的函数．

选项

答案(I)给x一个小的增量△x，则F(x+△x)[*]函数F(x)的增量为[*]因函数f(x)连续，则由积分中值定理得,△F=f(δ)Ax，其中δ∈(x，x+△x)，等式两边同除以△x，有[*]因函数f(x)连续，当△x→0时，δ→x，从而[*]在[*]的两边取极限，可知[*]存在，即函数F(x)可导，且有F^’(x)=f(x)．(II)因为f(x)是周期为2的连续函数，所以，(x)=f(x一2)．又[*]

解析

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