已知曲面S：2x2+4y2+z2=4与平面π：2x+2y+z+5=0，求：曲面S与平面π的最短距离．

admin2022-07-21 47

问题已知曲面S：2x²+4y²+z²=4与平面π：2x+2y+z+5=0，求：
曲面S与平面π的最短距离．

选项

答案曲面S上的点P(x，y，z)与平面π的距离d=[*]｜2x+2y+z+5｜，现欲求曲面S与平面π的最短距离，它等价于求函数f(x，y，z)=(2x+2y+z+5)²在条件2x²+4y²+z²=4约束下的最小值的条件极值问题．构造辅助函数F(x，y，z)=(2x+2y+z+5)²+λ(2x²+4y²+z²-4)，令 [*] 从方程组前三个方程之比得到x=2y，z=2y，代入第四个方程得2(2y)²+4y²+(2y)²=4，得y=±1/2．故最小值点为P₁(-1，-1/2，-1)，最大值点为P₁1(，1/2，1)，故所求的最短距离为d=1/3．

解析

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