假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布.记 求: U和V的联合分布;

admin2019-05-08  41

问题 假设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布.记
      
求:
U和V的联合分布;

选项

答案解一 如图3.3.1.1所示,设二维随机变量(X,Y)在区域A,B,C中取值的事件依次记为A,B,C;S表示有关区域的面积.因(X,Y)在G上服从均匀分布,故 [*] 而 P(U=0,V=0)=P(X≤Y,X≤2Y)=P(A)=1/4, P(U=0,V=1)=P(X≤Y,X>2Y)=P([*])=0, P(U=1,V=0)=P(X>Y,X≤2Y)=P(B)=1/4, P(U=1,V=1)=P(X>Y,X>2Y)=P(C)=1/2. 于是得到(U,V)的联合分布律为 [*] 解二 因(X,Y)在区域G上服从均匀分布,G的面积SG=2,故其概率密度函数为 [*] 因而 P(U=0,V=0)=P(X≤Y,X≤2Y)=P(A)=1/4, P(U=0,V=1)=P(X≤Y,X>2Y)=P([*])=0, P(U=1,V=0)=P(X>Y,X≤2Y)=P(B)=1/4, P(U=1,V=1)=P(X>Y,X>2Y)=P(C)=1/2.

解析
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