[2013年] 设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则( )．

admin2019-04-05 56

问题 [2013年] 设函数f(x)=

若反常积分∫₁^+∞f(x)dx收敛，则( )．

选项 A、α＜一2
B、α＞
2

C、一2＜α＜0
D、0＜α＜2

答案D

解析将反常积分∫₁^+∞f(x)dx拆分为两个反常积分，利用常见反常积分敛散性结论判别之．
∫₁^+∞f(x)dx=∫₁^ef(x)dx+∫_e^+∞f(x)dx=

,
欲使∫₁^+∞f(x)dx收敛，则反常积分

必收敛．
反常积分

存在瑕点x=1，欲使其收敛，由命题1．3．4．3(2)知，必α一1＜1．即α＜2①．反常积分

为无穷区间上的反常积分，欲使其收敛，由命题1．3．4．1(2)知，必有α+1＞1，即α＞0②．由式①与式②知，若反常积分∫₁^+∞f(x)dx收敛，则0＜α＜2．仅(D)入选．

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