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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (1)求矩阵B,使A[α1,α2,α3]=[α1,α2,α3]B; (2)求A的特征值; (3)
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3. (1)求矩阵B,使A[α1,α2,α3]=[α1,α2,α3]B; (2)求A的特征值; (3)
admin
2019-07-19
53
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=2α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
(1)求矩阵B,使A[α
1
,α
2
,α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]B;
(2)求A的特征值;
(3)求一个可逆矩阵P,使得P
—1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(1)由题设条件,有 A[α
1
,α
2
,α
3
]=[Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
]=[α
1
+α
2
+α
3
,2α
2
+α
3
,2α
2
+α
3
] [*] (2)记矩阵C=[α
1
,α
2
,α
3
],则由(1)知AC=CB,又因α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,知C为3阶可逆方阵,故得C
—1
AC=B,计算可得丑特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=4,因相似矩阵有相同特征值,得A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=4. (3)对于λ
1
=λ
2
=1,解方程组(E一B)x=0,得基础解系ξ
1
=(一1,1,0)
T
,ξ
2
=(一2,0,1)
T
;对应于λ
3
=4,解方程组(4E—B)x=0,得基础解系ξ
3
=(0,1,1)
T
.令矩阵 [*] 则有P
—1
AP=diag(1,1,4),故P为所求的可逆矩阵.
解析
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考研数学一
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