2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求矩阵B，使A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]B； (2)求A的特征值； (3)

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3． (1)求矩阵B，使A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]B； (2)求A的特征值； (3)

admin2019-07-19  59
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
    (1)求矩阵B，使A[α1，α2，α3]=[α1，α2，α3]B；
    (2)求A的特征值；
    (3)求一个可逆矩阵P，使得P—1AP为对角矩阵．
选项
答案(1)由题设条件，有 A[α1，α2，α3]=[Aα1，Aα2，Aα3]=[α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+α3] [*] (2)记矩阵C=[α1，α2，α3]，则由(1)知AC=CB，又因α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，知C为3阶可逆方阵，故得C—1AC=B，计算可得丑特征值为λ1=λ2=1，λ3=4，因相似矩阵有相同特征值，得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=4． (3)对于λ1=λ2=1，解方程组(E一B)x=0，得基础解系ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一2，0，1)T；对应于λ3=4，解方程组(4E—B)x=0，得基础解系ξ3=(0，1，1)T．令矩阵 [*] 则有P—1AP=diag(1，1，4)，故P为所求的可逆矩阵．
解析
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考研数学一

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