设向量β可由向量组α1，α2，...,αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...,αm-1 线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，...,αm-1，β，则

admin2018-11-22 29

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，...,α_m线性表示，但不能由向量组(I)：α₁，α₂，...,α_m-1
线性表示，记向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，...,α_m-1，β，则

选项 A、α_m不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、α_m不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．
C、α_m可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．
D、α_m可由(I)线性表示，但小可由(Ⅱ)线性表示．

答案B

解析因为β可由α₁，α₂，...,α_m线性表示，故可设
β=k₁α₁+k₂α₂+...+k_mα_m．
由于β小能由α₁，α₂，...,α_m-1线性表示，故上述表达式巾必有k_m≠0．因此
α_m=1/k_m(β-k₁α₁-k₂α₂-...-k_m-1α_m-1)．
即α_m可由(Ⅱ)线性表示，可排除(A)、(D)．
若α_m可由(I)线性表示，设α_m=l₁α₁+l₂α₂+...+l_m-1α_m-1则
β=(k₁+k_ml₁)α₁+(k₂+k_ml₂)α₂+…+(k_m-1+k_m-1l_m-1)α_m-1．
与题设矛盾，故应选(B)．

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