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设z(x,y)=x3+y3-3xy (Ⅰ)-∞<x<+∞,-∞<y<+∞,求z(x,y)的驻点与极值点. (Ⅱ)D={(x,y)|0≤x≤2,-2≤y≤2},求证:D内的唯一极值点不是z(x,y)在D上的最值点.
设z(x,y)=x3+y3-3xy (Ⅰ)-∞<x<+∞,-∞<y<+∞,求z(x,y)的驻点与极值点. (Ⅱ)D={(x,y)|0≤x≤2,-2≤y≤2},求证:D内的唯一极值点不是z(x,y)在D上的最值点.
admin
2017-07-10
48
问题
设z(x,y)=x
3
+y
3
-3xy
(Ⅰ)-∞<x<+∞,-∞<y<+∞,求z(x,y)的驻点与极值点.
(Ⅱ)D={(x,y)|0≤x≤2,-2≤y≤2},求证:D内的唯一极值点不是z(x,y)在D上的最值点.
选项
答案
(Ⅰ)解方程组 [*] 得全部驻点(0,0)与(1,1).再求 [*] 考察[*] (0,0)处[*],AC-B
2
<0=>(0,0)不是极值点. (1,1)处[*],AC-B
2
>0,A>0=>(1,1)是极小值点. 因此z(x,y)的驻点是(0,0),(1,1),极值点是(1,1)且是极小值点. (Ⅱ)D内唯一极值点(1,1)是极小值点,z(1,1)=-1. D的边界点(0,-2)处. z(0,-2)=(-2)
3
=-8<z(1,1) 因z(x,y)在有界闭区域D上连续,必存在最小值, 又z(0,-2)<z(1,1),(0,-2)∈D=>z(1,1)不是z(x,y)在D的最小值. [*]
解析
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考研数学二
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