[2004年] 设矩阵A=,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则∣B∣=_________.

admin2019-05-10  22

问题 [2004年]  设矩阵A=,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则∣B∣=_________.

选项

答案在方程两端左乘A,消掉A*,再利用命题2.2.1.6求之.也可将B所满足的等式整理使得等号两端都为矩阵相乘的形式,然后再取行列式求之. 解一 ABA*A=2BA*A+A,即3AB=6B+A,又∣A∣=A*A=3,则 AB一2B-(1/3)A=0, a=一1/3, b=一2, c=0. 由命题2.2.1.6得到 (A+bE)(B+aE)=(A一2E)(B一(1/3)E)=(ab—c)E=(2/3)E, 所以 [*] ∣B∣=[(1/3)(1/3)一(2/3)(2/3)](一1/3)=(一3/9)(一1/3)=1/9. 解二 (A一2E)BA*=E,B=(A一2E)-1(A*)-1,故∣B∣=∣A*-1∣A一2E∣-1,由∣A∣=[*]=3知,∣A*∣=∣A2∣=9,∣A一2E∣=[*]=1.于是∣B∣=[*].

解析
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