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设函数a1﹤a2﹤...﹤an,且函数f(x)在[a1,an]f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0.证明：存在ε∈（a1，an）,使得.
设函数a1﹤a2﹤...﹤an,且函数f(x)在[a1,an]f(a1)=f(a2)=...=f(an)=0.证明：存在ε∈（a1，an）,使得.
admin
2019-09-23
57
问题
设函数a
1
﹤a
2
﹤...﹤a
n
,且函数f(x)在[a
1
,a
n
]f(a
1
)=f(a
2
)=...=f(a
n
)=0.证明：存在ε∈（a
1
，a
n
）,使得
.
选项
答案
证明：当c=a
i
(i=1,2,...,n)时，对任意的ε∈（a
1
,a
n
),结论成立； 设c为异于a
1
,a
2
,...a
n
的数，不妨设a
1
＜c＜a
2
＜...＜a
n
,令[*], 构造辅助函数Φ(x)=f(x)-k(x-a
1
)（x-a
2
)...(x-a
n
),显然Φ（x)在[a
1
,a
n
]上n阶可导，且Φ（a
1
）=Φ（c)=Φ(a
2
)=...=Φ(a
n
)=0,由罗尔定理，存在[*] [*]在（a
1
,a
n
)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则Φ
n-1
(x)在（a
1
,a
n
)内至少有两个不同零点，设为c
1
,c
2
∈(a
1
,a
n
),使得Φ
n-1
（c
1
）=Φ
n-1
（c
1
）=0，再由罗尔定理，存在ε∈（c
1
，c
2
）[*](a
1
,a
n
),使得Φ
(n)
(ε)=0,而Φ
(n)
(x)=f
(n)
(x)-n!k,所以f
(n)
(ε)=n!k,从而有 [*].
解析
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考研数学二
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