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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+by32。 求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+by32。 求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；

admin2019-01-26  50
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+by32。
求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
选项
答案由题意得，二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 [*] 由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2，2，b。矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b，所以b=－1。 由于2是矩阵A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A－2E的秩为1，而 [*] 所以a=－1。 由(A－λE)x=0得，特征值为λ1=λ2=2，λ3=－1，对应的特征向量分别为 α1=(1，0，－1)T，α2=(0，1，－1)T，α3=(1，1，1)T， 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化得 [*] 再将β1，β2，α3单位化得 [*] 则正交变换矩阵 [*]
解析
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考研数学二

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