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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-2x1x2-2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+by32。 求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-2x1x2-2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+by32。 求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;
admin
2019-01-26
68
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
-2x
1
x
2
-2x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换化为标准形f=2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
。
求常数a,b及所用的正交变换矩阵Q;
选项
答案
由题意得,二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为 [*] 由矩阵B可知,矩阵A的特征值为2,2,b。矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b,所以b=-1。 由于2是矩阵A的二重特征值,而实对称矩阵A必可相似对角化,所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A-2E的秩为1,而 [*] 所以a=-1。 由(A-λE)x=0得,特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-1,对应的特征向量分别为 α
1
=(1,0,-1)
T
,α
2
=(0,1,-1)
T
,α
3
=(1,1,1)
T
, 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交,所以先将α
1
,α
2
正交化得 [*] 再将β
1
,β
2
,α
3
单位化得 [*] 则正交变换矩阵 [*]
解析
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考研数学二
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