设g(x)在Ea，b]上连续，且f(x)在[a，b]上满足f’’(x)+g(x)f’(x)～f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为零．

admin2020-03-16 28

问题设g(x)在Ea，b]上连续，且f(x)在[a，b]上满足f’’(x)+g(x)f’(x)～f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为零．

选项

答案设f(x)在区间[a，b]上不恒为零，不妨设存在x₀∈(a，b)，使得f(x₀)＞0，则f(x)在(a，b)内取到最大值，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=M＞0，且f’(c)=0，代入得f’’(c)=f(c)=M＞0，则x=c为极小点，矛盾，即f(x)≤0，同理可证明f(x)≥0，故f(x)≡0(a≤x≤b)．

解析

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