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设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0,必有( )
设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0,必有( )
admin
2019-01-06
45
问题
设A为n阶矩阵,A
T
是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)A
T
Ax=0,必有( )
选项
A、(I)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解.
B、(I)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解.
答案
A
解析
如果α是(Ⅰ)的解,有Aα=0,可得
A
T
Aα=A
T
(Aα)=A
T
0=0,
即α是(Ⅱ)的解.故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解.
反之,若α是(Ⅱ)的解,有A
T
Aα=0,用α
T
左乘可得
α
T
(A
T
Aα)=(α
T
A
T
)(Aα)=(Aα)
T
(Aα
T
)=α
T
0=0,
若设Aα=(b
1
,b
2
,…,b
n
),那么
即Aα=0.亦即α是(Ⅰ)的解.因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解.所以应选A.
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考研数学三
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