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  3. 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )

设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )

admin2019-01-06  50
问题 设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有(    )
选项 A、(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．
B、(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解．
答案A
解析 如果α是(Ⅰ)的解，有Aα=0，可得
    ATAα=AT(Aα)=AT0=0，
  即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解．
    反之，若α是(Ⅱ)的解，有ATAα=0，用αT左乘可得
    αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(AαT)=αT0=0，
  若设Aα=(b1，b2，…，bn)，那么
   
  即Aα=0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以应选A．
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考研数学三

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