设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0,必有( )

admin2019-01-06  28

问题 设A为n阶矩阵,AT是A的转置矩阵,对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0,必有(    )

选项 A、(I)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解.
B、(I)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解,(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解.

答案A

解析 如果α是(Ⅰ)的解,有Aα=0,可得
    ATAα=AT(Aα)=AT0=0,
  即α是(Ⅱ)的解.故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解.
    反之,若α是(Ⅱ)的解,有ATAα=0,用αT左乘可得
    αT(ATAα)=(αTAT)(Aα)=(Aα)T(AαT)=αT0=0,
  若设Aα=(b1,b2,…,bn),那么
   
  即Aα=0.亦即α是(Ⅰ)的解.因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解.所以应选A.
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