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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3) 证明存在η∈(0,2),使得f(η)=f(0).
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3) 证明存在η∈(0,2),使得f(η)=f(0).
admin
2022-09-05
78
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且
2f(0)=∫
0
2
f(x)dx=f(2)+f(3)
证明存在η∈(0,2),使得f(η)=f(0).
选项
答案
设F(x)=∫
0
x
f(t)dt(0≤x≤2),则 ∫
0
2
f(x)dx=F(2)-F(0) 根据拉格朗日中值定理,存在η∈(0,2)使得F(2)-F(0)=2F’(η)=2f(η)即 ∫
0
2
f(x)dx=2f(η) 由题设知∫
0
2
f(x)dx=2f(0),故f(η)=f(0).
解析
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0
考研数学三
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