设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3) 证明存在η∈（0,2），使得f(η)=f(0).

admin2022-09-05 89

问题设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且
2f(0)=∫₀²f(x)dx=f(2)+f(3)

证明存在η∈（0,2），使得f(η)=f(0).

选项

答案设F(x)=∫₀^xf(t)dt（0≤x≤2)，则 ∫₀²f(x)dx=F(2)－F(0) 根据拉格朗日中值定理，存在η∈（0,2）使得F(2)－F(0)=2F’(η)=2f(η)即 ∫₀²f(x)dx=2f(η) 由题设知∫₀²f(x)dx=2f(0)，故f(η)=f(0).

解析

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考研数学三

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