设函数f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和fˊˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．证明：fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．

admin2019-05-08 81

问题设函数f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和fˊˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．证明：fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．

选项

答案存在正常数M₀，M₂，使得对[*]x∈(－∞，+∞)，恒有｜f(x)｜≤M₀，｜fˊˊ(x)｜≤M₂．由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+fˊ(x)+[*]fˊˊ(ξ)，其中ξ介于x与x+1之间，整理得 fˊ(x)=f(x+1)－f(x)－[*]fˊˊ(ξ)，所以｜fˊ(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+[*]｜fˊˊ(ξ)｜≤2M₀+[*] 故函数fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．

解析

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考研数学三

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