设函数f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且f(x)和fˊˊ(x)在(-∞,+∞)内有界.证明:fˊ(x)在(-∞,+∞)内有界.

admin2019-05-08  33

问题 设函数f(x)在(-∞,+∞)内二阶可导,且f(x)和fˊˊ(x)在(-∞,+∞)内有界.证明:fˊ(x)在(-∞,+∞)内有界.

选项

答案存在正常数M0,M2,使得对[*]x∈(-∞,+∞),恒有 |f(x)|≤M0,|fˊˊ(x)|≤M2. 由泰勒公式,有 f(x+1)=f(x)+fˊ(x)+[*]fˊˊ(ξ), 其中ξ介于x与x+1之间,整理得 fˊ(x)=f(x+1)-f(x)-[*]fˊˊ(ξ), 所以 |fˊ(x)|≤|f(x+1)|+|f(x)|+[*]|fˊˊ(ξ)|≤2M0+[*] 故函数fˊ(x)在(-∞,+∞)内有界.

解析
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