2. 考研
  3. 设函数f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和fˊˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．证明：fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．

设函数f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和fˊˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．证明：fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．

admin2019-05-08  52
问题 设函数f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和fˊˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．证明：fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．
选项
答案存在正常数M0，M2，使得对[*]x∈(－∞，+∞)，恒有 ｜f(x)｜≤M0，｜fˊˊ(x)｜≤M2． 由泰勒公式，有 f(x+1)=f(x)+fˊ(x)+[*]fˊˊ(ξ)， 其中ξ介于x与x+1之间，整理得 fˊ(x)=f(x+1)－f(x)－[*]fˊˊ(ξ)， 所以 ｜fˊ(x)｜≤｜f(x+1)｜+｜f(x)｜+[*]｜fˊˊ(ξ)｜≤2M0+[*] 故函数fˊ(x)在(－∞，+∞)内有界．
解析
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考研数学三

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