设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:存在ξ∈(a,b),使得 ∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx.

admin2017-12-31  22

问题 设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,证明:存在ξ∈(a,b),使得
aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx.

选项

答案令g(x)=∫axf(t)dt-∫xbf(t)dt, 因为f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0, 所以g(a)=-∫abf(t)dt<0,g(b)=∫abf(t)dt>0, 由零点定理,存在ξ∈(a,b),使得g(ξ)=0,即∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx.

解析
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