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设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用(1)的结果判断矩阵B一CTA一1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用(1)的结果判断矩阵B一CTA一1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
admin
2016-01-11
35
问题
设
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
利用(1)的结果判断矩阵B一C
T
A
一1
C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
选项
答案
由(1)的结果知,矩阵D合同于矩阵[*]又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵,从而M的各阶顺序主子式大于零,于是B一C
T
A
一1
c的各阶顺序主子式也大于零.因矩阵M为对称矩阵,故B一C
T
A
一1
C为对称矩阵,故B一C
T
A
一1
C为正定矩阵.
解析
本题主要考查正定矩阵的判定以及分块矩阵的运算.首先求出P
T
,然后利用分块矩阵的运算法则求出P
T
DP,再证明B~C
T
A
一1
C为正定矩阵.
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考研数学二
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