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设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
admin
2019-07-23
15
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=ax
1
2
+ax
2
2
+(a－1)x
3
2
+2x
1
x
3
－2x
2
x
3
。
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
，求a的值。
选项
答案
(Ⅰ)二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)对应的实对称矩阵为 [*] =(λ－a)[(λ－a)(λ－a+1)一2] =(λ－a)(λ－a+2)(λ－a－1)， 则λ
1
=a，λ
2
=a－2，λ
3
=a+1。 (Ⅱ)若规范形为y
1
2
+y
2
2
，说明有两个特征值为正，一个为0。由于a－2＜a＜a+1，所以a－2=0，即a=2。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Fwc4777K
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考研数学一
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