设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3。 (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。

admin2019-07-23 29

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a－1)x₃²+2x₁x₃－2x₂x₃。
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值。

选项

答案(Ⅰ)二次型f(x₁，x₂，x₃)对应的实对称矩阵为 [*] =(λ－a)[(λ－a)(λ－a+1)一2] =(λ－a)(λ－a+2)(λ－a－1)，则λ₁=a，λ₂=a－2，λ₃=a+1。 (Ⅱ)若规范形为y₁²+y₂²，说明有两个特征值为正，一个为0。由于a－2＜a＜a+1，所以a－2=0，即a=2。

解析

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