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  3. 设数列{xn}满足：x1＞0，xn-1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求xn．

设数列{xn}满足：x1＞0，xn-1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求xn．

admin2022-09-22  57
问题 设数列{xn}满足：x1＞0，xn-1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求xn．
选项
答案设f(x)=ex-1-x(x＞0)，则有 f’(x)=ex-1＞0．因此f(x)＞f(0)=0，[*]＞1． 从而[*]＞1，可知x2＞0． 猜想xn＞0，依据数学归纳法证明． 当n=1时，x1＞0，成立； 假设当n=k(k=2，3，…)时，有xk＞0，则n=k+1时，有 [*]＞1，因此xk+1＞0． 从而得知无论n取任何自然数，都有xn＞0，即数列{xn}有下界． 又xn+1-xn=[*]，设g(x)=ex-1-xex． 当x＞0时，g’(x)=ex-ex-xex=-xex＜0． 因此g(x)单调递减，g(x)＜g(0)=0，即有ex-1＜xex， 因此xn+1-xn=[*]＜ln 1=0，可知数列{xn}单调递减． 由单调有界准则可知数列{xn}收敛． 设[*]xn=A，则有AeA=eA-1(A≥0)．可知A=0是该方程的解． 因为当x＞0时，g(x)=ex-1-xex＜g(0)=0． 因此A=0是方程AeA=eA-1的唯一解，故[*]xn=0．
解析
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考研数学二

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