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设数列{xn}满足:x1>0,xn-1(n=1,2,…).证明{xn}收敛,并求xn.
设数列{xn}满足:x1>0,xn-1(n=1,2,…).证明{xn}收敛,并求xn.
admin
2022-09-22
51
问题
设数列{x
n
}满足:x
1
>0,x
n
-1(n=1,2,…).证明{x
n
}收敛,并求
x
n
.
选项
答案
设f(x)=e
x
-1-x(x>0),则有 f’(x)=e
x
-1>0.因此f(x)>f(0)=0,[*]>1. 从而[*]>1,可知x
2
>0. 猜想x
n
>0,依据数学归纳法证明. 当n=1时,x
1
>0,成立; 假设当n=k(k=2,3,…)时,有x
k
>0,则n=k+1时,有 [*]>1,因此x
k+1
>0. 从而得知无论n取任何自然数,都有x
n
>0,即数列{x
n
}有下界. 又x
n+1
-x
n
=[*],设g(x)=e
x
-1-xe
x
. 当x>0时,g’(x)=e
x
-e
x
-xe
x
=-xe
x
<0. 因此g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,即有e
x
-1<xe
x
, 因此x
n+1
-x
n
=[*]<ln 1=0,可知数列{x
n
}单调递减. 由单调有界准则可知数列{x
n
}收敛. 设[*]x
n
=A,则有Ae
A
=e
A
-1(A≥0).可知A=0是该方程的解. 因为当x>0时,g(x)=e
x
-1-xe
x
<g(0)=0. 因此A=0是方程Ae
A
=e
A
-1的唯一解,故[*]x
n
=0.
解析
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考研数学二
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