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考研
(14)证明n阶矩阵相似.
(14)证明n阶矩阵相似.
admin
2018-08-01
80
问题
(14)证明n阶矩阵
相似.
选项
答案
证1:设矩阵A=[*] 因为 |λE-A|=[*]=(λ-1)λ
n-1
|λE-B|=[*]=(λ-n)λ
n-1
所以A与B有相同的特征值λ
1
=n,λ
n
=0(n-1重). 由于A为实对称矩阵,所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ
2
E-B)=r(B)=1,所以B的对应于特征值λ
2
=0有n-1个线性无关的特征向量,于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A.再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似. 证2:设存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP=B,或AP=PB,设P按列分块为P=[p
1
,p
2
,p
n
],则 AP=PB[*]A[p
1
,p
2
,…,p
n
]=[p
1
,p
2
,…,p
n
][*]Ap
1
=0,…,Ap
n-1
=0,…,Ap
n
=p
1
+2p
2
+…+np
n
, 由解上面的方程组,可求出可逆矩阵 P=[p
1
,p
2
,…,p
n
]= [*] 满足P
-1
AP=B,所以A相似于B.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/G2j4777K
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考研数学二
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