(14)证明n阶矩阵相似．

admin2018-08-01 73

问题 (14)证明n阶矩阵

相似．

选项

答案证1：设矩阵A=[*] 因为｜λE-A｜=[*]=(λ-1)λ^n-1 ｜λE-B｜=[*]=(λ-n)λ^n-1 所以A与B有相同的特征值λ₁=n，λ_n=0(n-1重)．由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ₂E-B)=r(B)=1，所以B的对应于特征值λ₂=0有n-1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A．再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似．证2：设存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，或AP=PB，设P按列分块为P=[p₁，p₂，p_n]，则 AP=PB[*]A[p₁，p₂，…，p_n]=[p₁，p₂，…，p_n][*]Ap₁=0，…，Ap_n-1=0，…，Ap_n=p₁+2p₂+…+np_n，由解上面的方程组，可求出可逆矩阵 P=[p₁，p₂，…，p_n]= [*] 满足P^-1AP=B，所以A相似于B．

解析

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考研数学二

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