(14)证明n阶矩阵相似.

admin2018-08-01  30

问题 (14)证明n阶矩阵相似.

选项

答案证1:设矩阵A=[*] 因为 |λE-A|=[*]=(λ-1)λn-1 |λE-B|=[*]=(λ-n)λn-1 所以A与B有相同的特征值λ1=n,λn=0(n-1重). 由于A为实对称矩阵,所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ2E-B)=r(B)=1,所以B的对应于特征值λ2=0有n-1个线性无关的特征向量,于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A.再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似. 证2:设存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,或AP=PB,设P按列分块为P=[p1,p2,pn],则 AP=PB[*]A[p1,p2,…,pn]=[p1,p2,…,pn][*]Ap1=0,…,Apn-1=0,…,Apn=p1+2p2+…+npn, 由解上面的方程组,可求出可逆矩阵 P=[p1,p2,…,pn]= [*] 满足P-1AP=B,所以A相似于B.

解析
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