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  3. (14)证明n阶矩阵相似．

(14)证明n阶矩阵相似．

admin2018-08-01  59
问题 (14)证明n阶矩阵相似．
选项
答案证1：设矩阵A=[*] 因为 ｜λE-A｜=[*]=(λ-1)λn-1 ｜λE-B｜=[*]=(λ-n)λn-1 所以A与B有相同的特征值λ1=n，λn=0(n-1重)． 由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵 [*] 因为r(λ2E-B)=r(B)=1，所以B的对应于特征值λ2=0有n-1个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B也相似于A．再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知A与B也相似． 证2：设存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，或AP=PB，设P按列分块为P=[p1，p2，pn]，则 AP=PB[*]A[p1，p2，…，pn]=[p1，p2，…，pn][*]Ap1=0，…，Apn-1=0，…，Apn=p1+2p2+…+npn， 由解上面的方程组，可求出可逆矩阵 P=[p1，p2，…，pn]= [*] 满足P-1AP=B，所以A相似于B．
解析
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考研数学二

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