计算曲线积分I=dy,其中L是从点A(-a,0)经上半椭圆=1(y≥0)到点B(a,0)的弧段.

admin2016-10-26  35

问题 计算曲线积分I=dy,其中L是从点A(-a,0)经上半椭圆=1(y≥0)到点B(a,0)的弧段.

选项

答案设C是从点A(-a,0)经上半圆x2+y2=a2(y≥0)到点B(a,0)的弧段(图10.15).因在上半平面(含x轴但不含原点)积分与路径无关,于是得 [*] 对右端的线积分,可直接用C的参数方程 x=acost, y=asint (π≥t≥0),来计算: I=[*][(cost-sint)(-sint)+(cost+sint)cost]dt=-π.

解析,易算

在上半平面(含x轴但不含原点为单连通区域)曲线积分与路径无关,因此求沿椭圆的曲线积分可以转化为求沿半圆周的曲线积分.
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