2. 考研
  3. 设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f(4)(x)|≤M(M＞0).证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有 |f″(x0)-[f(x)+f(x′)-2f(x0)]/(x-x0)2|≤M/12(x-x0)2， 其中x′为x关于x0的对称点.

设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f(4)(x)|≤M(M＞0).证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有 |f″(x0)-[f(x)+f(x′)-2f(x0)]/(x-x0)2|≤M/12(x-x0)2， 其中x′为x关于x0的对称点.

admin2022-08-19  55
问题 设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f(4)(x)|≤M(M＞0).证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有
|f″(x0)-[f(x)+f(x′)-2f(x0)]/(x-x0)2|≤M/12(x-x0)2，
其中x′为x关于x0的对称点.
选项
答案由f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+[f″(x0)/2!](x-x0)2+[f′″(x0)/3!](x-x0)3+[f(4)(ξ1)/4!](x-x0)4， f(x′)=f(x0)+f′(x0)(x′-x0)+[f″(x0)/2!](x′-x0)2+[f′″(x0)/3!](x′-x0)3+[f(4)(ξ2)/4!](x′-x0)4， 两式相加得 f(x)+f(x′)-2f(x0)=f″(x0)(x-x0)2+1/24[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)](x-x0)4， 于是|f″(x0)-[f(x)+f(x′)-2f(x0)]/(x-x0)2|≤1/24[f(4)(ξ1)|+|f(4)(ξ2)|](x-x0)2， 再由|f(4)(x)|≤M，得 |f″(x0)-[f(x)+f(x′)-2f(x0)]/(x-x0)2|≤M/12(x-x0)2.
解析
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考研数学三

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