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设f(x)在x0的邻域内四阶可导,且|f(4)(x)|≤M(M>0).证明:对此邻域内任一异于x0的点x,有 |f″(x0)-[f(x)+f(x′)-2f(x0)]/(x-x0)2|≤M/12(x-x0)2, 其中x′为x关于x0的对称点.
设f(x)在x0的邻域内四阶可导,且|f(4)(x)|≤M(M>0).证明:对此邻域内任一异于x0的点x,有 |f″(x0)-[f(x)+f(x′)-2f(x0)]/(x-x0)2|≤M/12(x-x0)2, 其中x′为x关于x0的对称点.
admin
2022-08-19
43
问题
设f(x)在x
0
的邻域内四阶可导,且|f
(4)
(x)|≤M(M>0).证明:对此邻域内任一异于x
0
的点x,有
|f″(x
0
)-[f(x)+f(x′)-2f(x
0
)]/(x-x
0
)
2
|≤M/12(x-x
0
)
2
,
其中x′为x关于x
0
的对称点.
选项
答案
由f(x)=f(x
0
)+f′(x
0
)(x-x
0
)+[f″(x
0
)/2!](x-x
0
)
2
+[f′″(x
0
)/3!](x-x
0
)
3
+[f
(4)
(ξ
1
)/4!](x-x
0
)
4
, f(x′)=f(x
0
)+f′(x
0
)(x′-x
0
)+[f″(x
0
)/2!](x′-x
0
)
2
+[f′″(x
0
)/3!](x′-x
0
)
3
+[f
(4)
(ξ
2
)/4!](x′-x
0
)
4
, 两式相加得 f(x)+f(x′)-2f(x
0
)=f″(x
0
)(x-x
0
)
2
+1/24[f
(4)
(ξ
1
)+f
(4)
(ξ
2
)](x-x
0
)
4
, 于是|f″(x
0
)-[f(x)+f(x′)-2f(x
0
)]/(x-x
0
)
2
|≤1/24[f
(4)
(ξ
1
)|+|f
(4)
(ξ
2
)|](x-x
0
)
2
, 再由|f
(4)
(x)|≤M,得 |f″(x
0
)-[f(x)+f(x′)-2f(x
0
)]/(x-x
0
)
2
|≤M/12(x-x
0
)
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/G3R4777K
0
考研数学三
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