设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce-∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解．

admin2018-06-27 81

问题设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce^-∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解．

选项

答案易直接验证对任意常数C，y=Ce^-∫p(x)dx是原方程的解．只需再证：若y是原方程的解，则存在某常数C，使得y=Ce^-∫p(x)dx，即证：ye^∫p(x)dx为常数．因为对任意常数C，y=Ce^-∫p(x)dx是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则 [ye^∫p(x)dx]’=e^∫p(x)dx[y’+p(x)y]=0，即存在常数C，使得ye^∫p(x)dx=C，即y=Ce^-∫p(x)dx．

解析

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