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设p(x)在(a,b)连续,∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数,C为任意常数,证明:y=Ce-∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解.
设p(x)在(a,b)连续,∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数,C为任意常数,证明:y=Ce-∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解.
admin
2018-06-27
105
问题
设p(x)在(a,b)连续,∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数,C为任意常数,证明:y=Ce
-∫p(x)dx
是方程y’+p(x)y=0的所有解.
选项
答案
易直接验证对任意常数C,y=Ce
-∫p(x)dx
是原方程的解.只需再证:若y是原方程的解,则存在某常数C,使得y=Ce
-∫p(x)dx
,即证:ye
∫p(x)dx
为常数. 因为对任意常数C,y=Ce
-∫p(x)dx
是原方程的解,又设y是原方程的任意一个解,则 [ye
∫p(x)dx
]’=e
∫p(x)dx
[y’+p(x)y]=0, 即存在常数C,使得ye
∫p(x)dx
=C,即y=Ce
-∫p(x)dx
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/G4k4777K
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考研数学二
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