2. 考研
  3. [2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

[2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

admin2019-07-23  51
问题 [2007年]  设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=[1，一1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵．
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
选项
答案令f(x)=x5-4x3+1，则B=f(A)=A5一4A3+E，因A的特征值为λ1=1， λ2=2，λ3=一2，故B=f(A)的三个特征值分别为 μ1=f(λ1)=f(1)=一2， μ2=f(λ2)=f(2)=1， μ2=f(λ3)=f(一2)=1． 由Aα1=λ1α1=α1得到A5α1=A4Aα1=A4α1=…=Aα1=α1，A3α1=A2Aα1=…=α1， 故Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1—4A3α1+α1一α1一4α1+α1=一2α1，即B的属于特征值 μ1=f(λ1)=f(1)=一2的一个特征向量为α1(与A的属于特征值λ1=1的特征向量α1相同)．所以B的属于特征值μ1=2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不等于零的任意常数． 一般有矩阵A的属于特征值λi的特征向量与矩阵B=f(A)的属于特征值f(λi)的特征向量相同，故为求B的特征向量只需求出A的特征向量． 设A的属于λ2的特征向量为α2=[x1，x2，x3]T，因λ1≠λ1，故α2与α1正交，则有 α1Tα2=[1，一1，1][*]1539=x2一x2+x3=0． 由 [*]1540得A的属于特征值λ2=1的特征向量为 α2=[1，1，0]T，α3=[一1，0，1]T． 故B的属于特征值μ2=f(λ2)=f(2)=1的线性无关的特征向量为 α2=[1，1，0]T，α3=[一1，0，1]T， 所以B的属于特征值λ2=1的全部特征向量为k2α2+k3α3，其中k2，k3是不全为零的任意常数．
解析
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考研数学一

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