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  3. 设A与B均是n阶矩阵，且R(A)＋R(B)﹤n，证明方程组Ax＝0与Bx＝0有非零公共解．

设A与B均是n阶矩阵，且R(A)＋R(B)﹤n，证明方程组Ax＝0与Bx＝0有非零公共解．

admin2020-06-05  31
问题 设A与B均是n阶矩阵，且R(A)＋R(B)﹤n，证明方程组Ax＝0与Bx＝0有非零公共解．
选项
答案构造齐次线性方程组[*]，设αi1，αi2，…，αir与βj1，βj2，…，βjt分别是A与B行向量组的极大线性无关组，那么矩阵[*] 的行向量组可以由αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjt 线性表示．从而 [*]≤R(αi1，αi2，…，αir，βj1，βj2，…，βjt)≤r＋t＝R(A)＋R(B)﹤n 所以方程组[*]有非零解，即Ax＝0与Bx＝0有非零公共解．
解析
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考研数学一

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