2. 考研
  3. 设函数f(x)连续，且满足∫03xf()dt+e2x=f(x)，求f(x)．

设函数f(x)连续，且满足∫03xf()dt+e2x=f(x)，求f(x)．

admin2018-06-14  49
问题 设函数f(x)连续，且满足∫03xf()dt+e2x=f(x)，求f(x)．
选项
答案在积分中作换元s=[*]=3∫0xf(s)dx，代入方程，可得 f(x)=3∫0xf(s)ds+e2x． 在上式中令x=0，得f(0)=1．由于f(x)连续，因而上式中右端的变上限定积分可导，又e2x也可导，这就保证了f(x)可导．将上式两端对x求导，得f’(x)=3f(x)+2e2x． 由此可见，f(x)是一阶线性微分方程y’一3y=2e2x满足初始条件y(0)=1的特解． 用积分因子e-3x乘方程两端，得(ye-3x)’=2e-x． 积分一次，不难得到它的通解y=Ce3x一2e2x．利用初始条件可确定常数C=3．所以，所求的函数是 f(x)=3e3x一2e2x．
解析
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考研数学三

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