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设函数f(x)连续,且满足∫03xf()dt+e2x=f(x),求f(x).
设函数f(x)连续,且满足∫03xf()dt+e2x=f(x),求f(x).
admin
2018-06-14
53
问题
设函数f(x)连续,且满足∫
0
3x
f(
)dt+e
2x
=f(x),求f(x).
选项
答案
在积分中作换元s=[*]=3∫
0
x
f(s)dx,代入方程,可得 f(x)=3∫
0
x
f(s)ds+e
2x
. 在上式中令x=0,得f(0)=1.由于f(x)连续,因而上式中右端的变上限定积分可导,又e
2x
也可导,这就保证了f(x)可导.将上式两端对x求导,得f’(x)=3f(x)+2e
2x
. 由此可见,f(x)是一阶线性微分方程y’一3y=2e
2x
满足初始条件y(0)=1的特解. 用积分因子e
-3x
乘方程两端,得(ye
-3x
)’=2e
-x
. 积分一次,不难得到它的通解y=Ce
3x
一2e
2x
.利用初始条件可确定常数C=3.所以,所求的函数是 f(x)=3e
3x
一2e
2x
.
解析
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0
考研数学三
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