设X和Y相互独立都服从0—1分布:P{X=1}=P(Y=1)=0.6,试证明:U=X+Y,V=X-Y不相关,但是不独立.

admin2016-09-19  29

问题 设X和Y相互独立都服从0—1分布:P{X=1}=P(Y=1)=0.6,试证明:U=X+Y,V=X-Y不相关,但是不独立.

选项

答案(1)由协方差的定义和性质,以及X和Y相互独立,可见 Cov(U,V)=E(UV)-EUEV=E(X2-Y2)-E(X+Y)E(X-Y)=E(X2)-E(Y2)=0. 于是,U=X+Y,V=X-Y不相关. (2)现在证明U=X+Y,V=X-Y不独立.事实上,由 P{U=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0)P{Y=0}=0.16, P{V=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1} =P(X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=0.52, P{U=0,V=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0} =0.16≠0.16×0.52=P{U=0}P{V=0}, 可见U和V不独立.

解析
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