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设函数f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2.已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值.
设函数f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2.已知f(1)=1,求∫12f(x)dx的值.
admin
2019-05-08
115
问题
设函数f(x)连续,且∫
0
x
tf(2x-t)dt=
arctanx
2
.已知f(1)=1,求∫
1
2
f(x)dx的值.
选项
答案
令u=2x-t,则t=2x-u,dt=-du. 当t=0时,u=2x;当t=x时,u=x.故 ∫
0
x
tf(2x-t)dt=-∫
2x
x
(2x-u)f(u)du=2x∫
x
2x
f(u)du-∫
x
2x
uf(u)du, 由已知得2x∫
x
2x
f(u)du-∫
x
2x
uf(u)du=[*]arctanx
2
,两边对x求导,得 2∫
x
2x
f(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-[2xf(2x).2-xf(x)]=[*], 即 2∫
x
2x
f(u)du=[*]+xf(x). 令x=1,得2∫
1
2
f(u)du=[*]].故∫
1
2
f(x)dx=[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/GEJ4777K
0
考研数学三
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