设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．

admin2019-05-08 67

问题设函数f(x)连续，且∫₀^xtf(2x－t)dt=

arctanx²．已知f(1)=1，求∫₁²f(x)dx的值．

选项

答案令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故 ∫₀^xtf(2x－t)dt=－∫_2x^x(2x－u)f(u)du=2x∫_x^2xf(u)du－∫_x^2xuf(u)du，由已知得2x∫_x^2xf(u)du－∫_x^2xuf(u)du=[*]arctanx²,两边对x求导，得 2∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=[*]，即 2∫_x^2xf(u)du=[*]+xf(x)．令x=1，得2∫₁²f(u)du=[*]]．故∫₁²f(x)dx=[*]．

解析

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