2. 考研
  3. 设A是n×n矩阵，对任何n维列向量x都有AX=0，证明：A=O．

设A是n×n矩阵，对任何n维列向量x都有AX=0，证明：A=O．

admin2018-08-22  49
问题 设A是n×n矩阵，对任何n维列向量x都有AX=0，证明：A=O．
选项
答案方法一 由于对任何X均有AX=0，取X=[1，0，…，0]T，由 [*] 得a11=a21=…=anq=0． 类似地，分别取X为e1=[1，0，…，0]T，e2=[0，1，0，…，0]T，…，en=[0，0，…，1]T代入方程，可证每个aij=0，故A=O． 方法二 因对任何X均有AX=0，故有Aei=0，i=1，2，…，n，合并成分块阵，得 [Ae1，Ae2，…，Aen]=A[e1，e2，…，en]=AE=A=O． 方法三 因对任何X均有AX=0，故方程基础解系向量个数为n． 又r(A)+n(基础解系向量个数)=n(未知量个数)，故有r(A)=0，即A=O．
解析
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考研数学二

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