设A是n×n矩阵，对任何n维列向量x都有AX=0，证明：A=O．

admin2018-08-22 69

问题设A是n×n矩阵，对任何n维列向量x都有AX=0，证明：A=O．

选项

答案方法一由于对任何X均有AX=0，取X=[1，0，…，0]^T，由 [*] 得a₁₁=a₂₁=…=a_nq=0．类似地，分别取X为e₁=[1，0，…，0]^T，e₂=[0，1，0，…，0]^T，…，e_n=[0，0，…，1]^T代入方程，可证每个a_ij=0，故A=O．方法二因对任何X均有AX=0，故有Ae_i=0，i=1，2，…，n，合并成分块阵，得 [Ae₁，Ae₂，…，Ae_n]=A[e₁，e₂，…，e_n]=AE=A=O．方法三因对任何X均有AX=0，故方程基础解系向量个数为n．又r(A)+n(基础解系向量个数)=n(未知量个数)，故有r(A)=0，即A=O．

解析

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