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设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(b)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明: 在(a,b)内,g(x)≠0;
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(b)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明: 在(a,b)内,g(x)≠0;
admin
2018-12-27
36
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,g"(x)≠0,f(b)=f(b)=g(a)=g(b)=0,证明:
在(a,b)内,g(x)≠0;
选项
答案
假设对任意的c∈(a,b)且g(c)=0。 由于g(a)=g(c)=g(b)=0,g(x)在[a,c],[c,b]上分别运用罗尔定理可得g’(ξ
1
)= g’(ξ
2
)=0,其中ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),对g’(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上运用罗尔定理,可得g"(ξ
3
)=0,其中ξ
3
∈(ξ
1
,ξ
2
)。 因已知g"(x)≠0,与题设矛盾,故g(c)≠0,即在(a,b)内,g(x)≠0。
解析
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考研数学一
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