f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1—ξ-1)f(ξ)

admin2015-08-14 76

问题 f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，

证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1—ξ^-1)f(ξ)

选项

答案令F(x)=xe^-xf(x)，因f(1)=[*]xe^1-xf(x)dx=ηe^1-ηf(η)，[*]F(1)=e^-1f(1)=ηe^-ηf(η)=F(η)，故在[η，1][*][0，1]上，对F(x)运用罗尔定理，可得ξ∈(η，1)[*](0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ^-1)f(ξ)．

解析

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考研数学二

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设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1.由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x).
设随机变量X与Y的相关系数为1/3，且E(X)=0，E(Y)=1，E(X2)=4，E(Y2)=10，则E[(X+Y)2]________.
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