设f(x)在[-π，π]上可积，且ak，bk是f(x)的傅里叶系数，试证对任意自然数n，成立不等式

admin2022-07-21 70

问题设f(x)在[-π，π]上可积，且a_k，b_k是f(x)的傅里叶系数，试证对任意自然数n，成立不等式

选项

答案令S_n(x)=[*][a_kcoskx+b_ksinkx]，其中 a_k=[*]∫_-π^πf(x)coskxdx(k=0，1，…，n)，b_k=[*]∫_-π^πf(x)sinkxdx(k=1，2，…，n) 则0≤∫_-π^π[f(x)-s_n(x)]²dx=∫_-π^π[f(x)]²dx-2∫_-π^πf(x)s_ndx+∫_-π^π[s_n(x)]²dx 利用三角函数系的正交性有 [*]

解析

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