设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求:(Ⅰ)(X,Y)的边缘概率密度fX(χ),fY(y); (Ⅱ)Z=2X-Y的概率密度fZ(z); (Ⅲ).

admin2018-06-30  28

问题 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

    求:(Ⅰ)(X,Y)的边缘概率密度fX(χ),fY(y);
    (Ⅱ)Z=2X-Y的概率密度fZ(z);
    (Ⅲ)

选项

答案[*] (Ⅰ)fX(χ)=∫-∞+∞f(χ,y)dy 当χ≤0或χ≥1时,fX(χ)=0; 当0<χ<1时,fχ(χ)=∫01dy=2χ. 故f(χ)=[*] 同理,fY(y)=∫-∞+∞f(χ,y)dχ 当y≤0或y≥2时,fY(y)=0; 当0<y<2时,fY(y)=[*] 故fY(y)=[*] (积分的讨论和定限可参考图(a)). (Ⅱ)Z的分布函数为: FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X-Y≤z}=[*]f(χ,y)dχdy 当[*]≥1即z≥2时,FZ(z)=1,∴fZ(z)=F′Z(z)=0(参见图(b)) 当[*]<0即z<0时,FZ(z)=0,∴fZ(z)=F′Z(z)=0(参见图(c)) 当0≤[*]<1即0≤z<2时, FZ(z)=[*] ∴fZ(z)=F′Z(z)=1-[*](参见图(d)). 故fZ(z)=[*] [*]

解析
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