2. 考研
  3. 设f(x)二阶可导，且f"(x)≥0，u(t)为任一连续函数；a＞0，求证：∫0af(t)]dt≥f(∫0au(t)dt)．

设f(x)二阶可导，且f"(x)≥0，u(t)为任一连续函数；a＞0，求证：∫0af(t)]dt≥f(∫0au(t)dt)．

admin2016-12-16  56
问题 设f(x)二阶可导，且f"(x)≥0，u(t)为任一连续函数；a＞0，求证：∫0af(t)]dt≥f(∫0au(t)dt)．
选项
答案题设f"(x)≥0，则由泰勒公式有 f (x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+[*]f"(ξ) (x一x0)2≥ f (x0)+f’(x0) (x一x0) ， 其中ε在x0 ，x之间．取x0=[*]∫0xu(t)dt，x=u(t)代入上式得 [*] 对上式两端从0到a积分，得 [*]
解析 给出函数f(x)二阶可导，且f"(x)＞0，该条件常使人想到利用泰勒公式证明不等式．比较待证的等式易看出，应取x=u(t)，x0=∫0au(t)dt  (此为常数)．
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考研数学三

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