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设f(x)二阶可导,且f"(x)≥0,u(t)为任一连续函数;a>0,求证:∫0af(t)]dt≥f(∫0au(t)dt).
设f(x)二阶可导,且f"(x)≥0,u(t)为任一连续函数;a>0,求证:∫0af(t)]dt≥f(∫0au(t)dt).
admin
2016-12-16
75
问题
设f(x)二阶可导,且f"(x)≥0,u(t)为任一连续函数;a>0,求证:
∫
0
a
f(t)]dt≥f(
∫
0
a
u(t)dt).
选项
答案
题设f"(x)≥0,则由泰勒公式有 f (x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x一x
0
)+[*]f"(ξ) (x一x
0
)
2
≥ f (x
0
)+f’(x
0
) (x一x
0
) , 其中ε在x
0
,x之间.取x
0
=[*]∫
0
x
u(t)dt,x=u(t)代入上式得 [*] 对上式两端从0到a积分,得 [*]
解析
给出函数f(x)二阶可导,且f"(x)>0,该条件常使人想到利用泰勒公式证明不等式.比较待证的等式易看出,应取x=u(t),x
0
=
∫
0
a
u(t)dt (此为常数).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/k6H4777K
0
考研数学三
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