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设函数f(χ)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=1,. 求证:对任何满足0<k<1的常数k,存在ξ∈(0,1),使f′(ξ)=-k.
设函数f(χ)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=1,. 求证:对任何满足0<k<1的常数k,存在ξ∈(0,1),使f′(ξ)=-k.
admin
2018-06-12
92
问题
设函数f(χ)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=1,
.
求证:对任何满足0<k<1的常数k,存在ξ∈(0,1),使f′(ξ)=-k.
选项
答案
令F(χ)=f(χ)+kχ,则F(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F′(χ)=f′(χ)+k,F(0)=1,[*](1+k),F(1)=1+k,即F([*])<(0)<(1). 由闭区间上连续函数的中间值定理知,存在c∈([*],1)使F(c)=F(0),从而F(χ)在区间[0,c]上满足罗尔定理的条件,于是,存在ξ∈(0,c)[*](0,1)使F′(ξ)=f′(ξ)+k=0,即f′(ξ)=-k.
解析
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考研数学一
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