已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=n－5an－85，n∈N*． (1)证明：｛an－1｝是等比数列； (2)求数列｛Sn｝的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由．

admin2016-06-27 18

问题已知数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且S_n=n－5a_n－85，n∈N^*．
(1)证明：｛a_n－1｝是等比数列；
(2)求数列｛S_n｝的通项公式，并求出n为何值时，S_n取得最小值，并说明理由．

选项

答案(1)证明：当n=1时，a₁=－14；当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=－5a_n+5a_n－1+1，所以a_n－1=[*](a_n－1－1)，又a₁－1=－15≠0，所以数列{a_n－1}是等比数列； (2)解：由(1)知：a_n－1=－15[*]，得a_n=1－15[*]，从而S_n=75[*]+n－90(n∈N^*)；解不等式S_n＜S_n－1，得[*]，当n≥15时，数列{S_n}单调递增；同理可得，当n≤15时，数列｛S_n｝单调递减；故当n=15时，S_n取得最小值．

解析

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已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=n－5an－85，n∈N*． (1)证明：｛an－1｝是等比数列； (2)求数列｛Sn｝的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由．

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