设f(x)为(-∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫0x(2t-x)f(x-t)dt，则F(x)是

admin2018-06-27 31

问题设f(x)为(-∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫₀^x(2t-x)f(x-t)dt，则F(x)是

选项 A、单调增加的奇函数．
B、单调增加的偶函数．
C、单调减小的奇函数．
D、单调减小的偶函数．

答案C

解析对被积函数作变量替换u=x-t，就有
F(x)=∫₀^x(2t-x)f(x-t)dt=∫₀^x(x-2u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du-2∫₀^xuf(u)du．
由于f(x)为奇函数，故∫₀^xf(u)du为偶函数，于是x∫₀^xf(u)du为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而
∫₀^xuf(u)du为奇函数，所以F(x)为奇函数．又
F’(x)=∫₀^xf(u)du+xf(x)-2xf(x)=∫₀^xf(u)du-xf(x)，
由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得∫₀^xf(u)du=xf(ξ)．从而F’(x)=x[f(ξ)-f(x)]，无论x＞0，还是x＜0，由f(x)单调增加，都有F’(x)＜0，从而应选(C)．
其实，由F’(x)=∫₀^xf(u)du-xf(x)=∫₀^x[f(u)-f(x)]du及f(x)单调增加也可得F’(x)＜0．

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考研数学二

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