2. 考研
  3. 设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f"(x)＜0．试证： (1)若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有 f(x0)≥f(x)一f(x0)(x—x0)， 当且仅当x=x0时等号成立； (2)若x1，x2，…，xn

设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f"(x)＜0．试证： (1)若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有 f(x0)≥f(x)一f(x0)(x—x0)， 当且仅当x=x0时等号成立； (2)若x1，x2，…，xn

admin2020-03-16  49
问题 设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f"(x)＜0．试证：
    (1)若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有
    f(x0)≥f(x)一f(x0)(x—x0)，
当且仅当x=x0时等号成立；
    (2)若x1，x2，…，xn∈(a，b)，且xi＜xi+1(i=1，2，…，n一1)，则
    ，
其中常数ki＞0(i=1，2，…，n)且∑ki=1．
选项
答案(1)将f(x)在x0点泰勒展开，即 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+[*](x一x0)2，ξ在x0与x之间． 由已知f"(x)＜0，x∈(a，b)得 [*](x一x0)2≤0(当且仅当x=x0时等号成立) 于是f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x一x0)，即 f(x0)≥f(x)一f’(x0)(x—x0)(当且仅当x=x0时等号成立)． (2)因为x1=[*]∈(a，b)． 取x0=[*]，对xi(i=1，2，…，n)利用(1)的结果有 f(x0)≥f(xi)一f(x0)(xi一x0)，i=1，2，…，n， 当且仅当xi=x0时等号成立． 而x0≠x1且x0≠xn，将上面各式分别乘以ki(i=1，2，…，n)后再求和，有 [*]
解析
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考研数学二

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