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[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2019-05-10
76
问题
[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0, l
2
:bx+2cy+3a=0, l
3
:cx+2ay+3b=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
将几何问题转化为代数问题而证之,归结为证三直线的方程所组成的方程组有唯一解的充要条件是a+b+c=0. 证一 必要性.设l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则线性方程组[*]有唯一解,则 秩(A)=秩[*]=2. 因而0=[*] =一6(a+b+c)[*]=一6(a+b+c)[一(b一c)
2
一(a一b)(a一c)] =6(a+b+c)[(b—c)
2
+(a一b)(a一c)] =6(a+b+c)(b
2
+c
2
一2bc+a
2
一ab一ac+bc) =3(a+b+c)(2b
2
+2c
2
一2bc+2a
2
一2ab一2ac) =3(a+b+c)[(a
2
+b
2
一2ab)+(a
2
+c
2
一2ac)+(b
2
+c
2
一2bc)] =3(a+b+c)[(a—b)
2
+(a一c)
2
+(6一c)
2
]. 因a,b,c至少有两个不同,故(a一b)
2
+(a一c)
2
+(b-c)
2
≠0,从而必有a+b+c=0. 充分性.当a+b+c=0时,下面证l
1
,l
2
,l
3
交于一点,为此证三条直线方程有仅有一个解,于是归结为证明秩(A)=秩([*])=2. 当a+b+c=0时,由必要性的证明知,∣[*]∣=0,因而秩([*])<3.为证秩(A)=秩([*])=2,只需证A中有一个二阶子式不等于0.因平面直线的方程是二元一次方程,故有a与b不同时为零,否则由ax+2by+3c=0得到c=0.这与方程ax+2by+3c=0为直线方程相矛盾.同理,b与c,c与a也同时不为零,于是有 [*]=2(ac—b
2
)=2a[(一1)(a+b)]一2b
2
=一2[a(a+b)+b
2
] =一2[a
2
+2·(1/2)ab+(b/2)
2
+b
2
一(b/2)
2
] =一2[(a+b/2)
2
+3b
2
/4]≠0. 故秩(A)=2=秩(A),即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
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考研数学二
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