[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l2:bx+2cy+3a=0, l3:cx+2ay+3b=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.

admin2019-05-10  61

问题 [2003年]  已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1:ax+2by+3c=0,  l2:bx+2cy+3a=0,  l3:cx+2ay+3b=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.

选项

答案将几何问题转化为代数问题而证之,归结为证三直线的方程所组成的方程组有唯一解的充要条件是a+b+c=0. 证一 必要性.设l1,l2,l3交于一点,则线性方程组[*]有唯一解,则 秩(A)=秩[*]=2. 因而0=[*] =一6(a+b+c)[*]=一6(a+b+c)[一(b一c)2一(a一b)(a一c)] =6(a+b+c)[(b—c)2+(a一b)(a一c)] =6(a+b+c)(b2+c2一2bc+a2一ab一ac+bc) =3(a+b+c)(2b2+2c2一2bc+2a2一2ab一2ac) =3(a+b+c)[(a2+b2一2ab)+(a2+c2一2ac)+(b2+c2一2bc)] =3(a+b+c)[(a—b)2+(a一c)2+(6一c)2]. 因a,b,c至少有两个不同,故(a一b)2+(a一c)2+(b-c)2≠0,从而必有a+b+c=0. 充分性.当a+b+c=0时,下面证l1,l2,l3交于一点,为此证三条直线方程有仅有一个解,于是归结为证明秩(A)=秩([*])=2. 当a+b+c=0时,由必要性的证明知,∣[*]∣=0,因而秩([*])<3.为证秩(A)=秩([*])=2,只需证A中有一个二阶子式不等于0.因平面直线的方程是二元一次方程,故有a与b不同时为零,否则由ax+2by+3c=0得到c=0.这与方程ax+2by+3c=0为直线方程相矛盾.同理,b与c,c与a也同时不为零,于是有 [*]=2(ac—b2)=2a[(一1)(a+b)]一2b2=一2[a(a+b)+b2] =一2[a2+2·(1/2)ab+(b/2)2+b2一(b/2)2] =一2[(a+b/2)2+3b2/4]≠0. 故秩(A)=2=秩(A),即三直线l1,l2,l3交于一点.

解析
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