已知线性方程组 的通解为[2,1,0,1]T+k[1,-1,2,0]T.记 α=[a1j,a2j,a3j,a4j]T,j=1,2,…,5. 问: α4能否由α1,α2,α3线性表出,说明理由.

admin2016-07-22  23

问题 已知线性方程组

的通解为[2,1,0,1]T+k[1,-1,2,0]T.记
    α=[a1j,a2j,a3j,a4j]T,j=1,2,…,5.
    问:
α4能否由α1,α2,α3线性表出,说明理由.

选项

答案α4不能由α1,α2,α3线性表出,因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量,故r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3,α4,α5)=4-1=3,且由对应齐次方程组的通解知,α12+2α3=0,即α1,α2,α3线性相关,r(α1,α2,α3)<3,若α4能由α1,α2,α3线性表出,则r(α4,α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3)<3,这和r(α1,α2,α3,α4)=3矛盾,故α4不能由α1,α2,α3线性表出.

解析
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