设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)．

admin2017-04-23 58

问题设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)．

选项

答案设B、X按列分块分别为B=[b₁ b₂ … b_p]，X=[x₁ x₂ … x_p]，则AX=B即 [Ax₁ Ax₂ … Ax_p]=[b₁ b₂ … b_p]，故AX=B有解[*]线性方程组Ax₁=b_j(j=1，2，…，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得AX=B有解[*]r(A)=r[A|b_j](j=1，2，…，p)[*]A的列向量组的极大无关组也是矩阵[A|b](j=1，2，…，p)的列向量组的极大无关组[*]r(A)= r[A b₁ b₂ … b_p]=r(A|B)．

解析

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考研数学二

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