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  3. 设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)．

设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)．

admin2017-04-23  118
问题 设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)．
选项
答案设B、X按列分块分别为B=[b1 b2 … bp]，X=[x1 x2 … xp]，则AX=B即 [Ax1 Ax2 … Axp]=[b1 b2 … bp]，故AX=B有解[*]线性方程组Ax1=bj(j=1，2，…，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得AX=B有解[*]r(A)=r[A|bj](j=1，2，…，p)[*]A的列向量组的极大无关组也是矩阵[A|b](j=1，2，…，p)的列向量组的极大无关组[*]r(A)= r[A b1 b2 … bp]=r(A|B)．
解析
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考研数学二

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