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设矩阵A、B的行数都是m.证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B).
设矩阵A、B的行数都是m.证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B).
admin
2017-04-23
70
问题
设矩阵A、B的行数都是m.证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B).
选项
答案
设B、X按列分块分别为B=[b
1
b
2
… b
p
],X=[x
1
x
2
… x
p
],则AX=B即 [Ax
1
Ax
2
… Ax
p
]=[b
1
b
2
… b
p
],故AX=B有解[*]线性方程组Ax
1
=b
j
(j=1,2,…,p)有解,由非齐次线性方程组有解的充要条件,即得AX=B有解[*]r(A)=r[A|b
j
](j=1,2,…,p)[*]A的列向量组的极大无关组也是矩阵[A|b](j=1,2,…,p)的列向量组的极大无关组[*]r(A)= r[A b
1
b
2
… b
p
]=r(A|B).
解析
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考研数学二
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