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  3. 设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )

设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则( )

admin2019-03-08  54
问题 设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则(    )
选项 A、f(0)是f(x)的极大值。
B、f(0)是f(x)的极小值。
C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点。
D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。
答案C
解析 令等式f"(x)+[f’(x)]2=x中x=0，得f"(0)=0－[f’(0)]2=0，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点。
再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)：
f"’(x)=(x－[f’(x)]2)’=1－2f’(x)f"(x)，
以x=0代入，有f"’(0)=1，所以

从而知，存在x=0的去心邻域，在此去心邻域内，f"(x)与x同号，于是推知在此去心邻域内当x＜0时曲线y=f(x)是凸的，在此去心邻域内x＞0时曲线y=f(x)是凹的，点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选C。
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考研数学二

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