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设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,则( )
设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]2=x,且f’(0)=0,则( )
admin
2019-03-08
30
问题
设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)]
2
=x,且f’(0)=0,则( )
选项
A、f(0)是f(x)的极大值。
B、f(0)是f(x)的极小值。
C、点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点。
D、f(0)不是f(x)的极值,点(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点。
答案
C
解析
令等式f"(x)+[f’(x)]
2
=x中x=0,得f"(0)=0-[f’(0)]
2
=0,无法利用判断极值的第二充分条件,故无法判断是否为极值或拐点。
再求导数(因为下式右边存在,所以左边也存在):
f"’(x)=(x-[f’(x)]
2
)’=1-2f’(x)f"(x),
以x=0代入,有f"’(0)=1,所以
从而知,存在x=0的去心邻域,在此去心邻域内,f"(x)与x同号,于是推知在此去心邻域内当x<0时曲线y=f(x)是凸的,在此去心邻域内x>0时曲线y=f(x)是凹的,点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点,选C。
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考研数学二
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