设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA＋DB)＝n． (1)证明：r＝n； (2)设ξ1，ξ2，…，ξr，与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX＝0与BX＝0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．

admin2019-02-23 75

问题设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA＋DB)＝n．
(1)证明：r

＝n；
(2)设ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，与η₁，η₂，…，η_s分别为方程组AX＝0与BX＝0的基础解系，证明：ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，η₁，η₂，…，η_s线性无关．

选项

答案(1)因为n＝r(CA＋DB)＝[*]≤n，所以[*]＝n； (2)因为[*]＝n，所以方程组[*]＝0只有零解，从而方程组AX＝0与BX＝0没有非零的公共解，故ξ₁，ξ₂，…，ξ_r，与η₁，η₂，…，η_s线性无关．

解析

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