设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

admin2018-05-22 58

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

选项

答案因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有 [*] 其中ξ₁∈[*]，ξ₂∈[*] 两式相加得f(a)+f(b)-[*][f’’(ξ₁)+f’’(ξ₂)]．因为f’’(x)在(a，b)内连续，所以f’’(x)在[ξ₁，ξ₂]上连续，从而f’’(x)在[ξ₁，ξ₂]上取到最小值m和最大值M，故m≤[*]≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ₁，ξ₂][*] 故f(a)+f(b)-[*][f’’(ξ₁)+f’’(ξ₂)]=[*]f’’(ξ)．

解析

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