(2007年)设幂级数内收敛，其和函数y(x)满足y"一2xy′一4y=0，y(0)=0，y′(0)=1。 (I)证明n=1,2,…； (Ⅱ)求y(x)的表达式。

admin2018-03-11 45

问题 (2007年)设幂级数

内收敛，其和函数y(x)满足y"一2xy′一4y=0，y(0)=0，y′(0)=1。
(I)证明

n=1,2,…；
(Ⅱ)求y(x)的表达式。

选项

答案(I)记[*]则 [*] 代入微分方程y"一2xy′一4y=0，有 [*] 故有(n+2)(n+1)a_n+2—2na_n一4a_n=0，即 [*] (Ⅱ)由初始条件y(0)=0，y′(0)=1知，a₀=0，a₁=1，于是根据递推关系式 [*] 有a_2n=0，[*]故 [*]

解析

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考研数学一

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