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过椭圆3x2+2xy+3y2=1上任意一点作椭圆的切线,试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
过椭圆3x2+2xy+3y2=1上任意一点作椭圆的切线,试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
admin
2017-01-14
97
问题
过椭圆3x
2
+2xy+3y
2
=1上任意一点作椭圆的切线,试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
选项
答案
设(x,y)为所给椭圆上任一点,则可求得在(x,y)处的切线方程为 (3x+y)(X-x)+(x+3y)(Y-y)=0, 它与两坐标轴的交点为[*]。所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 [*] 本题转化为求(3x+y)(z+3y)在条件3x
2
+2xy+3y
2
=1下的极值。设 F(x,y,λ)=(3x+y)(x+3y)+λ(3x
2
+2xy+3y
2
-1), [*] 所以该切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值[*]
解析
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考研数学一
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