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试求平面x+y一z=0与圆柱面x2+y2+z2一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积.
试求平面x+y一z=0与圆柱面x2+y2+z2一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积.
admin
2018-11-22
44
问题
试求平面x+y一z=0与圆柱面x
2
+y
2
+z
2
一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积.
选项
答案
根据分析,由坐标原点O至椭圆上的任意一点(x,y,z)的距离d=[*]之最大、最小值,就是该椭圆的长、短半轴.为此,设拉朗格日函数为L(x,y,z,λμ)=x
2
+y
2
+z
2
+λ(x+y-z)- μ(x
2
+y
2
+z
2
-xy-yz-zx-1) .令方程组 [*] 将上述方程组中的前三个式子分别乘以x、y、z后相加,得2(x
2
+y
2
+z
2
)+λ(x+y—z)一2μ(x
2
+y
2
+z
2
一xy一yz一zx)=0. 再将上述方程组的后两个式子化为d
2
=x
2
+y
2
+z
2
μ. 这充分说明μ就是d
2
的极值,从而说明[*]就是d的极值.于是,问题就转化为求μ. 由上述方程组的前四个式子消去参数λ,得 [*] 由此可知,此式的两个根μ
1
、μ
2
就是d
2
的极大值、极小值,即a
2
与b
2
. 由于μ
1
μ
2
=4,故所求的椭圆的面积是S=πab=[*]=2π.
解析
(1)若能求得该椭圆的长、短半轴a与6,则椭圆的面积为S=πab.
(2)由圆柱面方程x
2
+y
2
+z
2
一xy一yz一zx一1=0可知,此圆柱关于坐标原点0是对称的,故此圆柱的中心轴为通过坐标原点0的某一直线.
(3)由平面方程x+y—z=0可知,它也是通过坐标原点0的.所以,此平面上的椭圆
截线必以坐标原点0为其中心点.
若用解析几何的方法来求解,可知圆柱面方程
x
2
+y
2
+z
2
一xy一yz一zx一1=0
所表示圆柱的中心轴为直线L:x=y=z,且其纬圆半径为
再由直线L与平面x+y—z=0法线间的夹角的余弦为
以及面积的投影关系A=Scosθ,可得
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