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  3. 试求平面x+y一z=0与圆柱面x2+y2+z2一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积．

试求平面x+y一z=0与圆柱面x2+y2+z2一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积．

admin2018-11-22  35
问题 试求平面x+y一z=0与圆柱面x2+y2+z2一xy—yz一zx一1=0相交所成的椭圆的面积．
选项
答案根据分析，由坐标原点O至椭圆上的任意一点(x，y，z)的距离d=[*]之最大、最小值，就是该椭圆的长、短半轴．为此，设拉朗格日函数为L(x,y,z,λμ)=x2+y2+z2+λ(x+y－z)－ μ(x2+y2+z2－xy－yz－zx－1) ．令方程组 [*] 将上述方程组中的前三个式子分别乘以x、y、z后相加，得2(x2+y2+z2)+λ(x+y—z)一2μ(x2+y2+z2一xy一yz一zx)=0． 再将上述方程组的后两个式子化为d2=x2+y2+z2μ． 这充分说明μ就是d2的极值，从而说明[*]就是d的极值．于是，问题就转化为求μ． 由上述方程组的前四个式子消去参数λ，得 [*] 由此可知，此式的两个根μ1、μ2就是d2的极大值、极小值，即a2与b2． 由于μ1μ2=4，故所求的椭圆的面积是S=πab=[*]=2π．
解析 (1)若能求得该椭圆的长、短半轴a与6，则椭圆的面积为S=πab．
(2)由圆柱面方程x2+y2+z2一xy一yz一zx一1=0可知，此圆柱关于坐标原点0是对称的，故此圆柱的中心轴为通过坐标原点0的某一直线．
(3)由平面方程x+y—z=0可知，它也是通过坐标原点0的．所以，此平面上的椭圆
截线必以坐标原点0为其中心点．
若用解析几何的方法来求解，可知圆柱面方程
    x2+y2+z2一xy一yz一zx一1=0
所表示圆柱的中心轴为直线L：x=y=z，且其纬圆半径为再由直线L与平面x+y—z=0法线间的夹角的余弦为以及面积的投影关系A=Scosθ，可得
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考研数学一

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