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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32． (Ⅰ)求常数a，b； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型

admin2017-02-28  70
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32．
    (Ⅰ)求常数a，b；
    (Ⅱ)求正交变换矩阵；
    (Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．
选项
答案(Ⅰ)令A=[*]，则f(x1，x2，x3)=XTAX． 因为二次型经过正交变换化为2y12+2y22+by32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=b．由 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵．所以｜X｜=1时，｜Y｜=1，当｜Y｜=1时，二次型的最大值为2．
解析
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考研数学一

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